Per esempio il codice Morse è un sistema che permette di rappresentare ciascuna lettera dell'alfabeto con una serie di linee e di punti in modo che si possano trasmettere delle frasi utilizzando il telegrafo.

Qualsiasi rappresentazione che associ a dei dati un insieme di simboli costituisce un codice.

Anche molti giochi enigmistici (crittografie) utilizzano codici:

ad ogni lettera viene sostituito un numero e il gioco consiste appunto nel decifrare il codice, cioè nello scoprire quale lettera corrisponde a ciascun numero.

LA RAPPRESENTAZIONE DEI DATI

La rappresentazione dei dati nel computer usa metodi di codifica vari, che però utilizzano sempre come simboli le cifre del sistema di numerazione binario dato che i due simboli 0 e 1 possono essere rappresentati in modo semplice con due stati fisici distinti (presenza o assenza di corrente o di tensione ecc.);

inoltre più limitato è il numero di simboli utilizzabili in un codice e minore è la possibilità di errore.

Si hanno diversi tipi di codifica secondo la natura dei dati e l'uso a cui sono destinati.

IL CODICE ASCII PER LA RAPPRESENTAZIONE DEI CARATTERI ALFANUMERICI

Il codice ASCII è un codice per la rappresentazione dei caratteri alfanumerici:

i caratteri alfanumerici comprendono lettere dell'alfabeto, cifre, caratteri vari, come simboli di interpunzione, simboli aritmetici ecc.

Il codice ASCII è un codice a 8 bit, cioè per la rappresentazione di ogni carattere viene utilizzato un byte.

Il numero binario più grande rappresentabile con 8 bit è 255;

qualsiasi combinazione di 8 bit rappresenta un numero compreso tra 0 e 255;

quindi in un byte si possono avere 256 combinazioni diverse di cifre 0 e 1.

Ad ogni carattere che si deve rappresentare viene associata una di queste 256 combinazioni;

il modo con cui le combinazioni di cifre binarie sono state associate ai caratteri da rappresentare è convenzionale;

cioè si basa soltanto su accordi presi e non su metodi specifici.

Le rappresentazione dei caratteri sono comunque state scelte in modo da rispettare alcune regole che mantengono l'ordine alfabetico delle lettere, l'ordine delle cifre e facilitano le operazioni di confronto tra caratteri.

Alle cifre sono associati codici in successione, cosicché le cifre mantengono l'ordine dato dal loro valore;

anche alle lettere sono associati codici in successione in modo che mantengano l'ordine alfabetico;

però poiché nel codice tutte le lettere maiuscole precedono le lettere minuscole il confronto tra lettere maiuscole e minuscole risulta alterato:

per esempio risulta che B precede a.

Oltre al codice ASCII esistono altri codici che funzionano più o meno allo stesso modo, per esempio il codice EBCDIC;

i valori assegnati a ciascun carattere nei due codici sono diversi e quindi è diverso l'ordinamento tra i caratteri (questo vale soprattutto per i simboli speciali).

I caratteri vengono codificati automaticamente nel codice ASCII quando vengono inseriti per esempio attraverso la tastiera;

prima di mandare un carattere in output, al video o alla stampante, il codice ASCII viene riconvertito nella rappresentazione esterna (quella a noi abituale).

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BYTE E CARATTERI

La capacità della memoria viene misurata in byte;

ogni byte può contenere un carattere;

dire che la memoria è formata da un certo numero di byte equivale quindi a dire che può contenere quello stesso numero di caratteri.

Cella di memoria

I BYTE DEL CODICE ASCII

Il byte nel codice ASCII viene suddiviso in due parti di 4 bit ciascuna (semibyte).

Il primo semibyte, quello di sinistra, viene chiamato "zonatura", il secondo semibyte, quello di destra, viene chiamato "digit".

La zonatura rappresenta il tipo di carattere o il gruppo di appartenenza, il digit identifica il carattere stesso.

Per esempio le cifre da 0 a 9 hanno tutte la stessa zonatura, mentre il digit contiene la rappresentazione della cifra in binario assoluto.

Anche per le lettere il primo semibyte rimane fisso per un certo gruppo di lettere mentre il secondo semibyte assume via via valori crescenti.

LA RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI

Le cifre compaiono tra i caratteri del codice ASCII;

i numeri possono quindi essere codificati con il codice ASCII, utilizzando un byte per ogni cifra di cui sono formati.

Questo metodo però può essere seguito soltanto se i numeri vengono considerati come stringhe di caratteri e non compaiono in istruzioni di calcolo;

se si devono eseguire dei calcoli sui numeri si devono utilizzare altri metodi di rappresentazione.

Le principali rappresentazioni sono la rappresentazione zoned (e la rappresentazione packed derivata da questa), la rappresentazione dei numeri interi in complemento alla base e la rappresentazione dei numeri reali, chiamata rappresentazione floating point (o a virgola mobile).

Le rappresentazioni zoned e packed non risultano molto semplici e veloci da utilizzare nei calcoli;

possono risultare più utili gli altri tipi di rappresentazione.

Naturalmente chi inserisce dei dati nel computer non si preoccupa molto della rappresentazione interna che assumeranno i numeri.

Il programmatore invece se ne deve preoccupare un po' di più dato che dalla rappresentazione utilizzata dipenderanno i valori che si possono utilizzare.

Quando si inseriscono dei dati si usa sempre un programma; il programma è scritto in un certo linguaggio;

il compilatore di quel linguaggio stabilisce le regole con cui vengono definiti e rappresentati i dati;

ogni tipo di dati offerto dal linguaggio ha una sua rappresentazione interna e la rappresentazione interna limita i valori che possono essere gestiti.

Il programmatore deve quindi scegliere con cura il tipo di dati da utilizzare per ciascuna variabile necessaria al programma.

LA RAPPRESENTAZIONE ZONED

La rappresentazione zoned per i numeri assomiglia molto a quella che utilizza il codice ASCII per ciascuna cifra;

l'unica differenza è la rappresentazione del segno + o - del numero.

Utilizzando il codice ASCII per la rappresentazione delle stringhe anche il segno è un carattere e occupa quindi un byte a parte.

Nella rappresentazione Zoned il segno viene rappresentato nell'ultimo byte, quello che contiene la cifra meno significativa, insieme alla cifra stessa;

infatti, dato che i primi 4 bit sono uguali per tutte le cifre e possono quindi essere eliminati senza causare confusione, il segno viene memorizzato proprio in questi 4 bit.

Codici ASCII.

Per inserire il carattere prescelto tenere premuto il tasto Alt e digitare il numero corrispondente, quindi rilasciare il tasto Alt.

I caratteri evidenziati nella cornice rossa possono risultare differenti a seconda del software utilizzato.

ASCII - American Standard Code for Information Interchange è un codice standard a 7-bit che fu proposto dall'ANSI nel 1963 e diventò definitivo nel 1968.

ASCII (si pronuncia "askii") è il codice standard per i microcomputer e consiste di 128 numeri decimali che vanno da 0 a 127.

I numeri che vanno da 128 a 255 costituiscono il set di caratteri estesi che comprendono caratteri speciali, matematici, grafici e di lingue straniere.

LA RAPPRESENTAZIONE PACKED

La rappresentazione zoned usa per rappresentare un numero tanti byte quante sono le cifre del numero;

per risparmiare spazio di memoria si può passare dalla rappresentazione zoned alla rappresentazione packed.

Nella rappresentazione packed ogni cifra di un numero viene codificata in 4 bit;

ogni byte contiene perciò due cifre, riducendo a metà lo spazio occupato;

il segno occupa il semibyte più a destra nella rappresentazione.

I 4 bit usati per rappresentare una cifra sono i 4 bit a destra della rappresentazione data dal codice ASCII (i 4 bit a sinistra infatti sono uguali per tutte le cifre e quindi inutili).

LA RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI INTERI

I numeri interi in matematica sono un insieme infinito;

partendo dallo zero i numeri crescono indefinitamente diventando sempre più grandi (numeri positivi) o sempre più piccoli (numeri negativi).

In informatica si parla in modo improprio di numeri interi;

infatti non si possono usare numeri interi qualsiasi ma soltanto quelli che rientrano in un certo intervallo, che dipende da quanti byte vengono utilizzati per la rappresentazione in memoria.

Per rappresentare i numeri interi in genere si utilizzano due byte;

possono essere usati anche più byte e in genere in questo caso si parla di numeri interi "long", che permettono di utilizzare i numeri di un intervallo più ampio.

Utilizzando 2 byte i numeri interi che si possono usare sono quelli compresi tra -32768 e 32767. Cerchiamo di capire il perché di questi limiti.

Il numero binario più grande rappresentabile con 16 bit (2 byte) è quello formato da 15 cifre 1;

convertendo tale numero nel sistema di numerazione decimale si ottiene 65535.

Ci sono quindi 65536 (una è quella con tutti zero) combinazioni diverse di cifre 0 e 1 utilizzabili;

queste combinazioni vengono utilizzate per metà per la rappresentazione di numeri positivi e per metà per la rappresentazione dei numeri negativi.

Tutte le combinazioni in cui il primo bit a sinistra è zero rappresentano numeri positivi;

tutte le combinazioni in cui il primo bit a sinistra è 1 rappresentano numeri negativi.

Il massimo numero positivo rappresentabile è quindi quello formato dallo zero seguito da 15 cifre 1;

convertendo questo numero nel sistema di numerazione decimale si ottiene il numero 32767, come ci si poteva facilmente aspettare.

Per i numeri negativi la cosa è un po' più complicata.

I numeri negativi vengono rappresentati con il metodo del complemento alla base.

IL COMPLEMENTO ALLA BASE

Dato un numero intero N, rappresentato con k cifre in un sistema di numerazione in base b, si definisce complemento alla base di N il numero bk - N.

Il complemento di un numero N (che viene indicato con la notazione N_) si può calcolare eseguendo la sottrazione indicata nella definizione o in modo più semplice facendo il complemento a b-1 di ciascuna cifra (cioè sottraendo cifra per cifra da b-1), tranne che per l'ultima cifra significativa a destra per la quale si fa il complemento a b.

Questa definizione è valida in qualsiasi sistema di numerazione e dipende dal numero di cifre che si considerano per la rappresentazione del numero.

RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI INTERI NEGATIVI

La rappresentazione di un numero negativo è data dal complemento alla base della rappresentazione del numero preso in valore assoluto, considerando 16 cifre, dato che le rappresentazioni dei numeri utilizzano 16 bit. Dato che i numeri positivi hanno 0 come prima cifra e che ogni cifra viene sottratta da 1 (con il metodo semplificativo), tutte le rappresentazioni dei numeri negativi avranno 1 come prima cifra. Data la rappresentazione di un numero negativo, per determinare di quale numero si tratta nel sistema di numerazione decimale, bisogna calcolare il complemento alla base (riottenendo la rappresentazione del numero in valore assoluto dato che il complemento del complemento di un numero è uguale al numero stesso) e poi convertirlo nella rappresentazione decimale sommando le potenze di 2 corrispondenti alle cifre 1. Il numero negativo col valore assoluto maggiore è il numero rappresentato da una cifra 1 seguita da 15 cifre 0. Questo numero corrisponde a -32768. L'utilizzo del complemento alla base per la rappresentazione dei numeri negativi può sembrare un po' complicato; in realtà permette di semplificare molto le operazioni all'interno del computer. Infatti non si devono più eseguire in modo diverso addizioni e sottrazioni, ma le due operazioni possono essere eseguite sempre allo stesso modo. Invece di sottrarre un numero dall'altro si può determinare la rappresentazione in complemento alla base del numero da sottrarre e poi eseguire un'addizione.

Infatti tenendo presente la definizione di complemento alla base si ha:

Complemento alla base

ESEMPI.

Rappresentazione in 16 bit del numero 10. Per ottenere la rappresentazione in 16 bit bisogna convertire il numero 10 nel sistema di numerazione binario, procedendo per divisioni succesive. 10 : 2 = 5 con resto 0 5 : 2 = 2 con resto 1 2 : 2 = 1 con resto 0 1 : 2 = 0 con resto 1 Prendendo i resti dall'ultimo al primo si ottiene il numero binario 1010 che va completato con tanti zeri fino ad ottenere 16 cifre. La rappresentazione in 16 bit di 10 è pertanto 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0

ESEMPI.

Rappresentazione in 16 bit del numero -10. Per ottenere la rappresentazione in 16 bit di -10 si deve calcolare il complemento alla base, considerando 16 cifre, della rappresentazione di 10. La rappresentazione di 10 in 16 bit, ottenuta nell'esempio precedente è 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 Il complemento alla base si calcola come 10000000000000000 -0000000000001010, che si può calcolare come segue:

Complemento alla base

La rappresentazione di -10 è quindi 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0. ESEMPI Complemento alla base di un numero nel sistema di numerazione decimale considerando 8 cifre. Nel sistema decimale il complemento del numero N = 7825 considerando 8 cifre decimali si può calcolare come 108 - N cioè 100000000 - 7825, che seguendo il metodo indicato si può facilmente calcolare come segue:

Complemento alla base

che equivale ad eseguire effettivamente la sottrazione indicata nella definizione, considerando tutti i prestiti necessari. ESEMPI Complemento alla base di un numero nel sistema di numerazione binario considerando 16 cifre. Dato il numero binario N = 10011, il complemento alla base considerando 16 cifre è definito come 216 - N, cioè 10000000000000000 - 10011, che seguendo il metodo indicato si può calcolare come segue:

Complemento alla base

RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI REALI CON IL METODO FLOATING POINT

In matematica i numeri reali sono tutti i numeri positivi e negativi, con la virgola e qualsiasi numero di cifre decimali; comprendono anche i numeri illimitati, cioè quelli con infinite cifre decimali; già questo può far pensare che non tutti i numeri reali siano rappresentabili, ma soltanto alcuni. In informatica si parla in modo improprio di numeri reali; infatti non tutti i numeri reali sono rappresentabili ma soltanto alcuni di quelli all'interno di un certo intervallo, dato che anche all'interno dell'intervallo ammesso esistono dei numeri non rappresentabili. La cosa è un po' complicata; proviamo a vedere qual è il metodo utilizzato per la rappresentazione e che limiti impone. Il metodo di rappresentazione si basa sul fatto che qualsiasi numero può essere scritto in notazione esponenziale normalizzata cioè nella forma 0.m x be dove m costituisce la mantissa, b la base del sistema di numerazione ed e un esponente. Alcune parti del numero si possono quindi trascurare nella rappresentazione, poiché saranno uguali per qualsiasi numero considerato; le parti fondamentali che caratterizzano il numero sono la mantissa e l'esponente. Per memorizzare un numero qualsiasi basta quindi memorizzare la mantissa e l'esponente. Naturalmente il numero può essere positivo o negativo, quindi bisognerà memorizzare anche il segno. Per rappresentare un numero con il metodo floating point si utilizano alcuni byte, per esempio 6; una parte serve per memorizzare il segno del numero e l'esponente; il resto serve per la mantissa. Dal numero dei byte riservati alla mantissa dipende il numero di cifre significative che possono essere rappresentate; se un numero ha più cifre significative di quelle rappresentabili il numero verrà troncato o arrotondato. Supponiamo che venga utilizzato un byte per la rappresentazione del segno del numero e dell'esponente e 5 byte per la mantissa (la grandezza di ciascuna parte può variare secondo le implementazioni ma il metodo seguito rimane lo stesso). Il primo byte serve per la memorizzazione del segno e dell'esponente; il segno viene memorizzato nel primo bit, in genere lo zero corrisponde al segno positivo, l'uno al segno negativo. I 7 bit dell'esponente devono servire per memorizzare valori positivi o negativi dell'esponente. In 7 bit il numero massimo rappresentabile è quello formato da 7 cifre 1 che corrisponde al numero del sistema di numerazione decimale 127; si hanno quindi 128 combinazioni di cifre binarie; queste combinazioni vengono utilizzate per metà per gli esponenti positivi, e per metà per gli esponenti negativi in questo modo: il valore centrale dell'intervallo (128/2=64 che in binario è rappresentato da una cifra 1 seguita da 6 zeri) viene considerato come rappresentazione dello zero; tutti valori più piccoli rappresentano numeri negativi, tutti i valori più grandi corrispondono a numeri positivi. Quindi tutti gli esponenti positivi cominciano con la cifra 1, tutti gli esponenti negativi cominciano con la cifra 0. In pratica per conoscere la rappresentazione dell'esponente basta aggiungere all'esponente stesso il valore considerato come zero, cioè 64. L'esponente 5 avrà quindi come rappresentazione il valore in binario di 69, l'esponente -3 avrà come rappresentazione il valore in binario di 61. L'ordine di grandezza dei numeri rappresentabili va da 2esp-64 a 2esp63. Per ottenere la rappresentazione di un numero reale con il metodo floating point bisogna quindi per prima cosa convertire il numero nel sistema binario (trasformando separatamente la parte intera e la parte decimale); poi bisogna determinare la notazione esponenziale normalizzata rispetto alla base 2; si otterranno così la mantissa e l'esponente; per ottenere la rappresentazione dell'esponente da memorizzare bisogna prima aggiungere 1000000 (valore binario corrispondente a 64).

NOTAZIONE ESPONENZIALE

Si dice notazione esponenziale di un numero la forma in cui un numero viene scritto come un valore moltiplicato per una potenza della base del sistema di numerazione. Per esempio il numero 1324 può venire scritto anche in uno qualsiasi dei modi: 132. 4 x 10 13. 24 x 100 1. 324 x 1000 0. 1234 x 10000 12340 x 10-1 123400 x 10-2 ecc. Si dice notazione esponenziale normalizzata la forma in cui il numero moltiplicato per una potenza della base ha la parte intera nulla e la prima cifra significativa subito dopo la virgola. Quindi tra gli esempi precedenti la notazione esponenziale normalizzata è 0.1234 x 10000 cioè 0.1234 x 10esp4. In generale si può dire che la notazione esponenziale normalizzata assume la forma 0.m x bespe; b è la base del sistema di numerazione ed e l'esponente a cui deve essere elevata la base; il numero m prende il nome di mantissa. Nel sistema di numerazione binario la notazione esponenziale normalizzata corrisponde a 0.m x 2espe; la mantissa inizia con una cifra 1.

CARATTERISTICHE DELLA RAPPRESENTAZIONE FLOATING POINT

Le caratteristiche della rappresentazione floating point sono l'ordine di grandezza e la precisione dei numeri rappresentabili. L'ordine di grandezza indica quali sono i numeri più grandi e più piccoli rappresentabili e dipende dal numero di bit utilizzati per l'esponente. La precisione indica il numero di cifre significative rappresentabili e dipende dal numero di bit riservati alla mantissa.

DOPPIA PRECISIONE

Se per il numero reale da rappresentare occorre una maggior precisione si può adottare la doppia precisione in cui viene utilizzato un altro gruppo di byte (della stessa lunghezza di quello utilizzato normalmente per la rappresentazione floating point). In questo gruppo di byte vengono memorizzate altre cifre della mantissa aumentando così la precisione ottenibile.

RAPPRESENTAZIONE FINITA DEI NUMERI E PROPRIETA' ARITMETICHE

I tipi di numeri utilizzati in informatica non corrispondono ai tipi di numeri defniti in matematica, anche se viene utilizzato impropriamente lo stesso nome. In informatica si ha soltanto una rappresentazione finita di numeri che in matematica sono infiniti. Questo fatto causa notevoli problemi nelle operazioni di calcolo. Per quanto riguarda i numeri interi il problema risulta piuttosto semplice da capire: non si possono utilizzare numeri molto grandi o molto piccoli ma soltanto quelli interni all'intervallo offerto dal numero di byte utilizzati per la rappresentazione. Se si cerca di inserire un numero esterno all'intervallo di definizione il programma non lo accetta e si blocca con una segnalazione di errore. Può capitare però che, pur partendo da valori interni all'intervallo di definizione, il risultato di una operazione diventi troppo grande o troppo piccolo, uscendo da questo intervallo. Secondo le implementazioni questa situazione può dar luogo ad effetti diversi: il programma può ancora bloccarsi con una segnalazione di errore o può troncare le cifre più significative del numero (che perde così completamente di significato). I problemi che si verificano usando numeri floating point sono molto più complessi. Come per i numeri interi se si cerca di inserire un numero esterno all'ordine di grandezza permesso il programma non lo accetta e si blocca con una segnalazione di errore, e lo stesso può accadere se si esce dall'intervallo permesso durante operazioni di calcolo. Ma anche se il numero è accettabile come ordine di grandezza ci sono dei problemi se il numero è formato da troppe cifre: se le cifre significative sono troppe si verificano degli arrotondamenti della mantissa che, accumulandosi, possono produrre anche dei risultati inaspettati. Le proprietà aritmetiche dei numeri non sono più valide operando con le rappresentazioni dei numeri all'interno del computer; il risultato dipende dall'ordine di esecuzione delle operazioni che diventa quindi molto importante.

LE PROPRIETA' ARITMETICHE

Le proprietà aritmetiche dei numeri sono la proprietà commutativa, la proprietà associativa e la proprietà distributiva. Proprietà commutativa A + B + C = C + B + A Proprietà associativa (A + B) + C = A + (B + C) Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma. A x (B + C) = A x B + A x C Queste proprietà non sono più valide per le operazioni sui numeri floating point; per verificarlo basta trovare un controesempio, cioè un caso in cui tali proprietà non sono verificate. ESEMPI Casi che dimostrano che non sono valide le proprietà aritmetiche dei numeri per le rappresentazioni floating point; la rappresentazione utilizzata per l'esempio ammette al massimo 11 cifre significative. Dati i tre numeri A = 0.99999999999 B = 0.0000000000035 C = 0.0000000000035 si ha che: A + B + C = 9.9999999999E-01 ma C + B + A = 1.0000000000E+00 e quindi non vale la proprietà commutativa; e si ha che: (A + B) + C = 9.9999999999E-01 ma A + (B + C) = 1.0000000000E+00 e quindi non vale la proprietà associativa; Dati i tre numeri A = 0.99999999999 B = 6.98491930965E-10 C = 100 si ha che: A x (B + C) = 1.0000000000E+02 ma (A x B) + (A x C) = 9.9999999999E+01 e quindi non vale la proprietà distributiva.

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